Równania w zadaniach tekstowych: od treści do rozwiązania

Żeby ułożyć równanie z zadania tekstowego, wybierz niewiadomą i opisz pozostałe liczby za jej pomocą. Potem zapisz zależność podaną w poleceniu, na przykład sumę wieku albo łączną cenę zakupów. Po rozwiązaniu podstaw wynik do treści i sprawdź, czy spełnia wszystkie warunki.

Uczeń, który rozwiązuje gotowe równanie, może nadal mieć trudność z jego ułożeniem. Warto wtedy osobno ćwiczyć odczytywanie polecenia. Rodzic może pomóc, pytając: „Czego szukasz?” i „Jakie informacje o tej liczbie podaje zadanie?”.

Jak wybrać niewiadomą?

Najwygodniej oznaczyć literą liczbę, której szukasz lub od której zależą pozostałe dane. Zapisz także jej znaczenie. Samo x nic nie mówi o tym, czy obliczasz cenę zeszytu, wiek dziecka czy długość boku.

Słowo „więcej” może opisywać dodawanie albo mnożenie. Przeczytaj całe wyrażenie: „o 5 więcej” i „trzy razy tyle” oznaczają różne zależności.

Poniższe przykłady są autorskimi zadaniami do ćwiczenia zapisu. Najpierw spróbuj ułożyć równanie bez otwierania rozwiązania.

Przykład 1. Cena zeszytu

Trzy jednakowe zeszyty i długopis za 8 zł kosztują razem 35 zł. Ile kosztuje jeden zeszyt?

Zobacz równanie i rozwiązanie przykładu 1

x oznacza cenę jednego zeszytu w złotych. Trzy zeszyty kosztują 3x zł, a długopis 8 zł:

3x + 8 = 35.

Odejmujemy 8 od obu stron:

3x = 27.

Dzielimy obie strony przez 3:

x = 9.

Jeden zeszyt kosztuje 9 zł. Sprawdzenie: 3 × 9 zł + 8 zł = 35 zł.

Zapisz słowami, co składa się na 35 zł. To pomaga zauważyć, że opłata za długopis jest dodawana raz. Przy wyrażeniu 3(x + 8) zapłacilibyśmy za trzy zeszyty i trzy długopisy.

Przykład 2. Wiek dziecka i rodzica

Ojciec ma cztery razy tyle lat co syn. Razem mają 60 lat. Ile lat ma każdy z nich?

Zobacz równanie i rozwiązanie przykładu 2

x oznacza wiek syna w latach. Wiek ojca to 4x. Suma wieku wynosi 60:

x + 4x = 60.

5x = 60.

x = 12.

Syn ma 12 lat, a ojciec 4 × 12 = 48 lat. Sprawdzenie: 12 + 48 = 60 oraz 48 ÷ 12 = 4.

Wiek ojca opisujemy jako 4x, ponieważ jest czterokrotnością wieku syna. Wyrażenie x + 4 opisywałoby osobę starszą od syna o cztery lata.

Przykład 3. Obwód prostokąta

Obwód prostokąta wynosi 34 cm. Dłuższy bok jest o 5 cm dłuższy od krótszego. Oblicz długości boków.

Zobacz równanie i rozwiązanie przykładu 3

Oznaczmy krótszy bok przez x, gdzie x jest długością w cm. Dłuższy bok ma długość x + 5. W prostokącie są dwa boki każdej długości:

2x + 2(x + 5) = 34.

Rozwijamy nawias:

2x + 2x + 10 = 34.

4x + 10 = 34.

4x = 24.

x = 6.

Krótszy bok ma 6 cm, dłuższy 11 cm. Sprawdzenie: 6 + 11 + 6 + 11 = 34, a 11 − 6 = 5.

Przed układaniem równania narysuj prostokąt i podpisz jego boki. Jeśli zapiszesz x + (x + 5) = 34, dodasz długości tylko dwóch boków. Szkic pozwoli porównać liczbę składników z liczbą boków figury.

Przykład 4. Cena przed rabatem

Buty po obniżce o 30% kosztują 126 zł. Jaka była ich cena początkowa?

Zobacz równanie i rozwiązanie przykładu 4

x oznacza cenę początkową w złotych. Po obniżce o 30% płacimy 70% tej ceny:

0,7x = 126.

Dzielimy obie strony przez 0,7:

x = 180.

Buty kosztowały wcześniej 180 zł. Sprawdzenie: 30% ze 180 zł to 54 zł, a 180 zł − 54 zł = 126 zł.

Kwota 126 zł oznacza 70%, a cena początkowa 100%. Jeśli ten krok jest niejasny, wróć do wyjaśnienia procentów i zadań o zmianie ceny.

Jak wykonać działanie po obu stronach równania?

W równaniu 3x + 8 = 35 chcemy otrzymać samo 3x po lewej stronie. Odejmujemy więc 8 po obu stronach. Potem dzielimy obie strony przez tę samą liczbę 3.

Możesz zapisywać te kroki bez skrótów:

3x + 8 − 8 = 35 − 8.

3x = 27.

3x ÷ 3 = 27 ÷ 3.

x = 9.

Gdy dziecko już rozumie te działania, może skrócić zapis do kolejnych równoważnych równań. Warto jednak wrócić do pełnej wersji, jeśli zaczyna gubić znaki albo zmienia tylko jedną stronę.

Co sprawdzać po otrzymaniu wyniku?

Podstaw liczbę do równania, a następnie wróć do wszystkich warunków polecenia. W zadaniu o prostokącie potrzebny jest właściwy obwód oraz różnica długości boków. Spełnienie tylko jednego z tych warunków nie kończy sprawdzenia.

Przeczytaj też pytanie. Jeśli x oznaczało wiek syna, a zadanie pytało o dwie osoby, oblicz również wiek ojca. Dopisz jednostki i odpowiedź. Więcej takich zapisów znajdziesz w przykładach zadań otwartych z matematyki.

Jak pomóc dziecku, które rozumie przykład, ale nie umie zacząć następnego?

Zmień liczby w jednym zadaniu, pozostawiając tę samą zależność. W przykładzie z zeszytami możesz przyjąć, że trzy zeszyty i długopis za 8 zł kosztują 38 zł. Cena zeszytu wyniesie wtedy 10 zł. Poproś dziecko o samodzielne wybranie niewiadomej i zapisanie równania.

Jeśli trudność dotyczy tylko rachunków, przyda się krótki zestaw zadań na początek powtórek. Gdy uczeń potrzebuje pomocy przy rozpoznawaniu zależności w treści, warto pokazać kilka jego prób trenerowi.

Na korepetycjach z matematyki online w Gigantach można poświęcić 60-minutowe spotkanie wybranemu tematowi. Przed lekcją przekaż polecenia i obliczenia dziecka. Trener będzie mógł zacząć od miejsca, w którym pojawia się trudność.

Jeśli szukasz regularnego przygotowania do egzaminu, kurs roczny dla ósmoklasistów obejmuje również algebrę i zadania tekstowe. Wybór formy nauki omówiliśmy w porównaniu korepetycji 1:1 i kursu grupowego.

Pytania o równania z treści

Czy każde zadanie tekstowe trzeba rozwiązać równaniem?

Część zadań da się wygodnie rozwiązać działaniami arytmetycznymi. Równanie pomaga, gdy trzeba opisać zależności między nieznanymi liczbami. W obu przypadkach zapis powinien pokazywać, jak wykorzystano dane.

Czy można wybrać inną niewiadomą niż w rozwiązaniu?

Tak. W zadaniu o prostokącie można oznaczyć przez x także dłuższy bok. Krótszy będzie wtedy miał długość x − 5. Równanie 2x + 2(x − 5) = 34 daje x = 11, a drugi bok 6 cm. Liczy się zgodność oznaczenia z dalszymi obliczeniami.